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フィボナッチ数列とは

フィボナッチ数列とは
「そして右辺の $F_n$ という式はフィボナッチ数列の一般項、つまり第 $n$ 項だよね。だから、この式 $F_ - F_ = F_n$ は《階差を取ると自分になる》ということを表現している」

【応用】フィボナッチ数列の一般項

右辺を左辺に移行すれば\[ F_-(\alpha+\beta) F_ +\alpha\beta F_n=0 \]となります。同じように元の漸化式も変形すると\[ F_-F_-F_n=0 \]となります。これらのことから、 $\alpha,\beta$ は\[ フィボナッチ数列とは x^2-x-1=0 \]の解になることがわかります。これはちょうど漸化式で $F_$ を $x^2$ に、 $F_$ を $x$ に、 $F_n$ を $1$ に置き換えた式になっています。

これを解くと、\[ x=\frac <1\pm\sqrt<5>> \]となります。このプラスの方を $\alpha$ とし、マイナスの方を $\beta$ とすると、次の2つの式が成り立ちます。
\begin F_-\alpha F_ &=& \beta(F_-\alpha F_n) \\[5pt] F_-\beta F_ &=& \alpha(F_-\beta F_n) \\[5pt] \end1つ目の式から、 $\$ は、公比が $\beta$ の等比数列であることがわかります。初項は \begin F_2-\alpha F_1 &=& 1-\frac > フィボナッチ数列とは \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \beta \endであることがわかります。よって、\[ F_-\alpha F_n=\beta^n \]となります。

また、2つ目の式から $\-\beta F_n\>$ は公比が $\alpha$ の等比数列であることがわかります。初項は
\begin F_2-\beta F_1 &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \alpha \endなので、\[ F_-\beta F_n=\alpha^n \]となります。

2つを並べると
\begin F_-\alpha F_n &=& \beta^n \\[5pt] F_-\beta F_n &=& \alpha^n \endとなり、下の式から上の式を引けば \begin (\alpha-\beta)F_n &=& \alpha^n-\beta^n \\[5pt] \endとなります。ここで、\[ \alpha-\beta=\frac >-\frac >=\sqrt \]なので、 \begin F_n &=& \frac <\sqrt>\left\ <\left(\frac>\right)^n-\left(\frac >\right)^n\right\> \\[5pt] \endとなることがわかります。これが、フィボナッチ数列の一般項です。

自然の不思議で美しい法則、フィボナッチ数列に魅せられた

ナレッジ

フィボナッチの法則

1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、21、34、55、89、144、233・・・

5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13+ 21 = 34
21 + 34 = 55

このように、どの数もその前の 2 つを足し合わせたものになっているのです。

植物にフィボナッチ数列が当てはまる

松ぼっくり
(右回りに 13 列。左回りに 8 列)
フィボナッチ数列とは

サボテンのトゲ
(右回り 13 列。 左周り 21 列)

ひまわりのたね
(右回り 21 列。 左回り 34 列)

8 – 13 – 21 – 34 – – –

同じように、どの数もその前の 2 つを足し合わせたものになっているのです。

花びらの数にフィボナッチ数列が当てはまります

日々草 5 枚

クレマチス 8 枚

マーガレット フィボナッチ数列とは 21 枚

5 枚の葉っぱがちょうど重なり合うこと無く太陽の日が当たるように設計されているかのように 螺旋状に葉っぱが生えているというのです。

ちょうど 2 週したときに 0 枚目の葉っぱと重なるようなのですが、 これを歯の数と回転数の比で表すと 5 分の 2 になります。

黄金長方形もフィボナッチ数列に関係している

黄金比とは、 1 対 1.6 の割合で出来ており、ギリシャのパルテノン神殿が黄金比の比率で作られたことで有名です。

1 → 2 → 5 → 8 → 13 → 21 ・・・

このように現れた数字はまたしてもフィボナッチ数列です。 黄金比から現れた数値がフィボナッチ数列に当てはまるということです。

黄金比を取り入れて設計された Apple のロゴ、 Google のロゴ、 Twitter のロゴを見てみても、ずっと見ても飽きない落ち着きさえ感じられる不思議なパワーが感じられます。

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