FX初心者必見

クロネッカーデルタとは

クロネッカーデルタとは
のように定義されていますが,ここでは についての総和記号が省略されています.

【線形空間編】正規直交基底と直交行列

Step1. ベクトル達を直交化する 次の数式を用いて、新しいベクトル\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)を順番に生成していきます。 クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは
\begin
\boldsymbol &\leftarrow& \boldsymbol \\
\boldsymbol &\leftarrow& \boldsymbol – \frac<(\boldsymbol,\boldsymbol)><(\boldsymbol,\boldsymbol)>\boldsymbol \\
\boldsymbol &\leftarrow& \boldsymbol – \Bigl(\frac<(\boldsymbol,\boldsymbol)><(\boldsymbol,\boldsymbol)>\boldsymbol + \frac<(\boldsymbol,\boldsymbol)><(\boldsymbol,\boldsymbol)>\boldsymbol\Bigr) \\
&…& \\
\boldsymbol &\leftarrow& \boldsymbol – \sum_^\frac<(\boldsymbol,\boldsymbol)><(\boldsymbol,\boldsymbol)>\boldsymbol
\endこの作り方によって、\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)は、全て互いに直交するベクトルの組となります。(本当に直交するの?と思う人は、内積を順番に計算して確かめてみましょう。) Step2. ベクトル達を正規化する \(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)クロネッカーデルタとは の長さを1に揃えます。方法は簡単で、ベクトルに対して、そのベクトルの大きさを割る(つまり逆数をスカラー倍する)だけです。$$\boldsymbol \leftarrow \frac<|\boldsymbol|>\boldsymbol \ (i=1,2,…,n)$$

正規直交基底の成分と「自然な内積」

正規直交基底の1次結合で内積を取るとスッキリ

計量線形空間は「自然な内積」に通じる

実は、どんな\(n\)次元の線形空間であっても、内積さえ定義されていれば、正規直交基底を取ってこれの成分表記で捉えることで、実質的に「\(n\)次元数線形空間\(R^n\)」と同じものとして扱うことができるんです!全ての計量線形空間は、\(R^n\)に帰着するんですね。

正規直交基底を変換する

\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)が正規直交基底であることを利用すると、次のような式を導き出せます。
\begin
(\boldsymbol,\boldsymbol)&=&(\sum_^p_\boldsymbol,\sum_^p_\boldsymbol) \\
&=&\sum_^\sum_^p_p_(\boldsymbol,\boldsymbol) \\
&=&\sum_^p_p_
\end1段目から2段目の変形は、内積がもつ分配法則の性質に基づいて愚直に展開しただけです。そして、\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)クロネッカーデルタとは が正規直交基底であることを利用して、2段目の中から異なるベクトルの内積を0として消し去り、同じベクトルの内積を1として成分のみを残した結果、3段目の式が得られます。

さて、正規直交基底の定義から、基底\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)が正規直交系であること(つまり正規直交基底である)と、次の式の成立は同値でした。$$(\boldsymbol,\boldsymbol)=\delta_$$つまり、これらから次の等式が成り立ちます。$$\sum_^p’_p_=\delta_$$クロネッカーのデルタ\(\delta_\)は単位行列\(i\)行\(j\)列成分に相当すると言いました。つまり、この式は積\(^PP\)が単位行列に等しいことを表しているのです。

正規直交基底\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)クロネッカーデルタとは に対して変換の行列\(P\)を用いて別の基底\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)を作るとき、次の命題が成立する。
$$^PP=E \Leftrightarrow \boldsymbol,…,\boldsymbolは正規直交基底$$

ちなみに、\(^PP=E\)を満たす行列\(P\)のことを直交行列と呼びます。さらに、直交行列\(P\)の中でも、その行列式\(|P|\)が1であるようなもののことを特に回転行列と呼びます。

クロネッカーデルタとは

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Based at Schwetzingen City of the Rhein-Neckar district, the Health Centers of GRN GmbH is a community of four hospitals with associated pharmacies, three geriatric rehabilitation clinics, and two senior care centers.

その反面、 をマイクロスレッド化することで、従 クロネッカーデルタとは DRAM コアと比べて列サイクル時間(tCC)を最大 1/2 に短縮しながらも、DRAM コアがコスト効率よく特 タ転送速度および粒度を維持できるようにします。

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まずはここから。クロネッカーのδの使い方。[ベクトル解析]

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ベクトル解析公式の証明 – 準備篇

一方, ベクトル解析は直感に訴えるものであるが, それらを組み合わせた公式には直感だけでは覚えにくいものもある.

前提とおことわり

ベクトルやスカラーの定義, 内積や外積の計算概念自体は既知とし, あくまでそれらの数学を道具として扱うことでどんな公式が得られるかを知ることを目的とする. 要するに, 大学程度の物理屋さんの感覚で議論させてもらう.

空間としては3次元空間を扱うこととする. また, \(\vb*_\) を3次元空間の互いに直交した単位ベクトルとする.

つづくしばらくの項目で, ベクトル解析を記述する為の道具としてクロネッカーのデルタと, クロネッカーデルタとは レヴィ=チヴィタ記号の二つを導入する.

また, Einsteinの提唱した略記法としてEinsteinの総和規約を導入することで, 紙と労力の大いな節約を行う.

クロネッカーのデルタ (Kronecker delta)

次式であらわれるような記号, クロネッカーのデルタを導入する. \[\begin \delta_ \mathrel<\mathop:>= \left\< \begin 1 & ( i = j ) \\ 0 & ( i \not = j) \\ \end \right. \end\] つまり, \[ \begin \delta_ &=\delta_=\delta_=1 \quad .\\ \delta_ &=\delta_=\delta_ \\ & = \delta_=\delta_=\delta_=0 \quad . \end\] というのをまとめ書きした記号ということである.

3次元の直交した単位ベクトル同士の内積 \( \vb*_ \cdot \vb*_ \) というのはクロネッカーのデルタと同等の性質を持っており, クロネッカーデルタとは \[ \vb*_ \cdot \vb*_ = \delta_ \] が成立する.

レヴィ=チヴィタ記号 (Levi-Civita symbol)

外積の満たす代数を取り扱うため, 次のような性質を持つ記号, レヴィ=チヴィタ記号を導入する. \[\begin \epsilon_ \mathrel<\mathop:>= \left\< \begin 1 & (\text) \\ -1 & (\text) \\ 0 & (\text) \\ \end \right. \quad. \end\] つまり, \[ \begin \epsilon_ &=\epsilon_=\epsilon_=1 \quad .\\ \epsilon_ &=\epsilon_=\epsilon_=-1 \quad .\\ \epsilon_ &=\epsilon_=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_=0 \quad .\\ \epsilon_ &=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_=0 \quad .\\ \epsilon_ &=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_=\epsilon_=0 \quad .\\ \end\] というのをまとめ書きした記号である.

レヴィ=チヴィタ記号も3次元の直交した単位ベクトルを用いて次のように表現できる. \[ \left| \vb*_ \ \vb*_ \ \vb*_ \right| \mathrel<\mathop:>= \vb*_ \cdot \left( \vb*_ \times \vb*_ \right) = \epsilon_ \quad . \] 実際にこの性質を持っているかどうかは諸君の手で確かめて欲しい.

ここで, “ \(\times\) ”は外積操作を表す演算子であり, 最左辺の式はスカラー三重積と呼ばれるものである,

Einsteinの総和規約 (Einstein summation convention)クロネッカーデルタとは

単項の中に二回以上同じ添字があらわれた時, その添字については和をとることを約束する, すなわち, \[A_ B_ = \sum_^<> A_ B_\] といった具合である.

ただし, \(i\) の添字の和を取る範囲については適宜適切なぶんだけ走らせることにする.

このページでは3次元空間のみを扱うので, \(i\) は \(1\) から \(3\) まで走らせることになる. それ以外の場合にはその都度 \( i \) クロネッカーデルタとは を走らせる範囲を明記することにする.

テンソルの微分計算について

><\partial>=\delta_" /> (ただし,δはクロネッカーのデルタ)は当たり前に理解できるのですが, ><\partial>" /> だとどうなるのでしょう?

分からないのは, ><\partial>= \frac<\partial><\partial> * \frac<\partial><\partial> =2x_i * \delta_" /> ここまではあっていて,この式の意味は要するに i=kなら ,i≠kなら0,となって正しいと思います.

2x_i * \delta_<ik></p>
<p>ここで,クロネッカーのデルタのいわゆる とできると思うのですが,

\frac<\partial<x^2_i></p>
<p>><\partial<x_k>>= 2x_k

Re: テンソルの微分計算について

わたなべ さんのレス (2008/01/11(Fri) クロネッカーデルタとは 03:10)

x_i*x_i = x_1*x_1+x_2*x_2 + x_3*x_3 + .

Re: テンソルの微分計算について

よしぼー さんのレス (2008/01/11(Fri) 03:24)

ご回答ありがとうございます. 私が質問したいのは についてです. 貴方は についてお話をされていますが, ではないでしょうか?

x_i*x_i

だと,iについて総和規約が適用されて確かに貴方が言われているようなことになりますが, すいませんが,ここでの質問とは違うような気がするのですが…

Re: テンソルの微分計算について

yama さんのレス (2008/01/11(Fri) 08:40)

=2x_k" /> はiについて総和をとる場合に成り立つ式であって,総和をとらない場合には成り立ちません.つまり総和記号が省略されていると考えないといけません.また, を と表すこともあります.

Re: テンソルの微分計算について

よしぼー さんのレス (2008/01/11(Fri) クロネッカーデルタとは 18:07)

2x_i * \delta_<ik></p>
<p>?私の最初の書き込みで としたところまでは正しいのでしょうか?

2x_i * \delta_<ik></p>
<p>? > =2x_k はiについて総和をとる場合に成り立つ式であって,総和をとらない場合には成り立ちません.

2x_i * \delta_<ik></p>
<p>と言われているのは,私の最初の書き込みで のところまで書いて,"但し,総和はとらない" と注釈にでも書くのが正しい,ということでしょうか?大学では,単に"指標の置き換えの約束"だけを言われたので,とにかく機械的にやってよいのだと思っていましたが,そうではないということですね.

の34pとかはどうなのでしょう. ここにも, と書いてありますし, 少なくとも クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは だと思っていました.

そこに書いてあるとおり, だと,iは一回のみ出てくるため, それが総和規約が適用されるiと解釈することになる理由がよく分かりません. (それでは,例えばi=1など,特定のiについて とか言いたい場合にはどのようにされるのですか?などの疑問が湧いてきます)

Re: テンソルの微分計算について

yama さんのレス (2008/01/12(Sat) 00:07)

?総和規約というのは,国際的な規則や取り決めではなく慣用的なものなので,文献によって多少異なる扱いをすることがあります. ご紹介のサイトでは,文字として実際に2回現れる添字についてのみ総和記号を省略することにしているようですね. それに対して, を の略記であるとして,総和記号を省略している文献もあります.たとえば「ランダウ=リフシッツ力学」では,慣性テンソルが

I_</p>
<p>=\int\rho(x_l^2\delta_-x_ix_k)dV

l

のように定義されていますが,ここでは についての総和記号が省略されています.

Re: テンソルの微分計算について

よしぼー さんのレス (2008/01/12(Sat) 01:18)

私のもともとの疑問は解決できました. ?についてもよく分かりました.ご紹介頂いたような立場の文献もある というわけですね.いずれにしても状況に応じて考えないといけないわけですね.

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