実体験

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ
計算方針を考える
落ち着こう。確かに無理数は避けて通れない。しかし、我々は無理数どころか、"もっとスゴい"数を扱ったことがあるはずだ。そう、二乗すると -1 になっちゃう愛に溢れた"アレ"を含む数、複素数である。 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ
複素数をどう扱ったか思い出そう。次のように表現したはずだ。
$a+bi$
虚数単位 $i$ はもはや無理数ですらない。それでも我々は扱ってきた。ならばたかが $\sqrt$ 程度が扱えないわけがない。
というわけで、複素数の i フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ を $\sqrt$ に置き換えた形で今回の式を取り扱うことにしよう。
フィボナッチ数列の一般項を計算する(※ただし有理数に限る)

「フィボナッチ数列」を英語に翻訳する

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The Fibonacci method involves going to the next number in the Fibonacci Sequence when you lose, and returning to 0 when you win.

Operation? A11:Participating nations spend, steering committee consisting of participating countries.(Respondent: Hisashi Hirabayashi) Q12:The array of SKA arrays is technological, but is it using Fibonacci sequence?

Our group on: "The Golden Ratio φ, the Fibonacci Sequence and their applications" | Serveurs de groupe de

Plots are provided for K = 1,2,3. k, skipping values by the Fibonacci sequence to avoid displaying too many plots.

"Empowering Your Vision"のブランドシンボルは、花や貝のらせん模様など、自然界に多く見られるフィボナッチ数列の普遍的な造形をモチーフに、私たちの能力の広がり、実現するビジョンの広がり、創出する新たな価値の広がりを視覚化したものです。

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フィボナッチ数列の一般項

式(1)に関しては、$\boldsymbol-\alpha F_n\>>$ をまるごと1つの数列だと考えると、この数列は公比 $\beta$ の等比数列になっていることがわかります。
初項は、$n=1$ とすると
$$ \begin F_2-\alpha F_1 &=& 1- \frac> \cdot 1\\
&=& \frac>\\
&=& \beta \end $$となります。
つまり数列 $\-\alpha F_n\>$ は初項も公比も $\beta$ だったというわけですね。よって、
$$ F_-\alpha F_n = \beta ^n \tag $$となります。

同様に、式(2)についても見ていきましょう。こちらも $\boldsymbol-\beta F_n\>>$ をまるごと1つの数列だと考えると、この数列は公比 $\alpha$ の等比数列になっていることがわかります。
初項は、$n=1$ とすると
$$ \begin F_2-\beta F_1 &=& 1- \frac> \cdot フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 1\\
&=& \frac>\\
&=& \alpha \end $$となります。
つまり数列 $\-\beta F_n\>$ の方は初項も公比も $\alpha$ だったとわかります。よって、
$$ F_-\beta F_n = \alpha ^n \tag $$となります。

最初の2項が「1, 1」でない場合

ここまでは、フィボナッチ数列の最初の2項を「1, 1」とする最も一般的な場合のことを考えてきました。
では、最初の2項が「1, フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 1」ではない場合、どのような一般項になるのしょうか。

前の2項を足すと次の項」というルールは変えません。

漸化式の特性方程式の2解
$$\alpha=\frac> , \ \beta=\frac>$$を用いて漸化式を変形すると、
$$ \begin F_-\alpha F_ &=& \beta (F_-\alpha F_n) \tag \\ F_-\beta F_ &=& \alpha (F_-\beta F_n) \tag \end $$となる所までは先ほどと同じです。
ここから最初の2項を変えた影響が出てきます。

式(6)の数列 $\-\alpha F_n\>$ は公比 $\beta$ の等比数列です。
初項は、
$$ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ F_2-\alpha F_1=b-\alpha a $$となります。よって、
$$ F_-\alpha F_n = ( b-\alpha a )\beta^ \tag $$となることがわかります。
同様に、式(7)からは
$$ F_-\beta F_n = ( b-\beta a )\alpha^ \tag $$という関係が得られます。
式(9)-式(8)を計算すると
$$(\alpha-\beta)F_n=( b-\beta a )\alpha^-( b-\alpha a )\beta^$$となります。
この両辺を $\alpha-\beta$ で除すと、
$$ \begin F_n &=& \frac< ( b-\beta a )\alpha^-( b-\alpha a )\beta^ > < \alpha-\beta >\\
&=& \frac> \left\< \left( b-\frac>a \right) \left( \frac> \right)^-\left( b-\frac>a \right) \left( \frac> \right)^ \right\> \end フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ $$となり、これが求める一般項です。

【応用】フィボナッチ数列の一般項

右辺を左辺に移行すれば\[ F_-(\alpha+\beta) F_ +\alpha\beta F_n=0 \]となります。同じように元の漸化式も変形すると\[ F_-F_-F_n=0 \]となります。これらのことから、 $\alpha,フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ \beta$ は\[ x^2-x-1=0 \]の解になることがわかります。これはちょうど漸化式で $F_$ を $x^2$ に、 $F_$ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ を $x$ に、 $F_n$ を $1$ に置き換えた式になっています。

これを解くと、\[ x=\frac <1\pm\sqrt<5>> \]となります。このプラスの方を $\alpha$ とし、マイナスの方を $\beta$ とすると、次の2つの式が成り立ちます。
\begin F_-\alpha F_ &=& \beta(フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ F_-\alpha F_n) \\[5pt] F_-\beta F_ &=& \alpha(F_-\beta F_n) \\[5pt] \end1つ目の式から、 $\$ は、公比が $\beta$ の等比数列であることがわかります。初項は \begin F_2-\alpha F_1 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \beta \endであることがわかります。よって、\[ F_-\alpha F_n=\beta^n \]となります。

また、2つ目の式から $\-\beta F_n\>$ は公比が $\alpha$ の等比数列であることがわかります。初項は
\begin F_2-\beta F_1 &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \alpha \endなので、\[ F_-\beta F_n=\alpha^n \]となります。

2つを並べると
\begin F_-\alpha F_n &=& \beta^n \\[5pt] F_-\beta F_n &=& \alpha^n \endとなり、下の式から上の式を引けば フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ \begin (\alpha-\beta)F_n &=& \alpha^n-\beta^n \\[5pt] \endとなります。ここで、\[ \alpha-\beta=\frac >-\frac >=\sqrt フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ \]なので、 \begin F_n &=& \frac <\sqrt>\left\ <\left(\frac>\right)^n-\left(\frac >\right)^n\right\> \\[5pt] \endとなることがわかります。これが、フィボナッチ数列の一般項です。

フィボナッチ比率のFXへの応用方法|フィボナッチ・リトレースメント

フィボナッチ数列は「前の2つの数を加えると次の数になる」という数列です。イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチが中世時代に発見したとされています。具体的には「1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…」と続き、終わりはありません。これらは、
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
といった具合に計算を行うことができます。
トレードでフィボナッチ・リトレースメントを使う際に数値を逐一計算する必要はありませんが、フィボナッチ・リトレースメントの根底にある考え方は頭の片隅に置いておきたいです。

フィボナッチ比率とは

先ほどのフィボナッチ数列を発展させたものがフィボナッチ比率です。ためしに、フィボナッチ数列「1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…」のそれぞれの数を1つ後ろの数で割り算してみましょう。
1 ÷ 1 = 1
1 ÷ 2 = 0.5
2 ÷ 3 = 0.67
3 ÷ 5 = 0.6
5 ÷ 8 = 0.625
8 ÷ 13 = 0.615
13 ÷ 21 = 0.619
21 ÷ 34 = 0.618
34 ÷ 55 = 0.618
55 ÷ 89 = 0.618

逆に、フィボナッチ数列のそれぞれの数を1つ前の数で割るとどうなるでしょうか。
1 ÷ 1 = 1
2 ÷ 1 = 2.0
3 ÷ 2 = 1.5
5 ÷ 3 = 1.667
8 ÷ 5 = 1.6
13 ÷ 8 = 1.625
21 ÷ 13 = 1.615
34 ÷ 21 = 1.619
55 ÷ 34 = 1.フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 618
89 ÷ 55 = 1.618

フィボナッチ比率をFXに応用する方法

フィボナッチ比率を用いた手法の例

・フィボナッチ・アーク
フィボナッチ分析に時間の概念を盛り込んだテクニカル分析で、アーク(フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 円弧)を用いて価格と時間の両方の側面から、予測を行います。

・フィボナッチ・エクスパンション
フィボナッチ・リトレースメントによく似たテクニカル分析で、トレンド相場において押し目や売りのポイントがどこなのかということを予測するテクニカル分析です。主に利益確定に使うとされており、状況やタイミングによってフィボナッチ・リトレースメントとの使い分けが求められます。

・フィボナッチ・タイムゾーン
フィボナッチ・タイムゾーンは1、2、3、5、8、13、21、34とフィボナッチ数列の間隔に垂直線を引くテクニカル分析です。それぞれの線の近くで大きな値動きが期待されるとされており、これもアーク同様に時間の概念に主眼を置いたものになります。

・フィボナッチ・リトレースメント
最後にフィボナッチ・リトレースメントです。これはトレンド発生時の押し目と戻りがどの価格を目標として推移するのかを把握するテクニカル分析です。フィボナッチを用いたテクニカル分析の中では最も有名で、一般的に「フィボナッチ」といえばこのフィボナッチ・リトレースメントを指すケースが多いです。

フィボナッチ・リトレースメントの使い方

・ラインの引き方
まず、ラインの引き方です。基本的には直近の高値と安値を結びます。「直近」の定義ですが、明確には決められていません。ご自分の取引手法や取引時間軸に合わせて期間を決めてください。
また、ラインをローソク足の実体部分で引くか、ヒゲで引くか迷う場面があるかと思います。結論から言うと、ラインの引き方に正解はありません。どちらか引いてみてうまく機能する方を採用する、もしくはご自分のルールでどちらを使うか事前に決めておくと良いでしょう。

・重視すべき割合
直近の高値と安値を結ぶラインを引いたら、あとは自動的にフィボナッチ比率に基づいた水平線が表示されるのが一般的です。0%、23.6%、38.2%、50.0%、61.8%、76.4%、100.0%。この中で特に重要とされるのが23.6%、38.2%、61.8%です。半値を表す50%も補足的に見られる場合もあります。これらのラインが下値支持線(サポートライン)や上値抵抗線(レジスタンスライン)になるケースが多いため、投資家から意識されやすいポイントとなります。

「みんなのFX」でのフィボナッチ・リトレースメント機能の表示方法

・PC版取引システム「FXトレーダー」での表示方法
①チャート上部の描写ツール(鉛筆マーク)をクリックする
②フィボナッチ・リトレースメントを選択する
③起点となる高値(安値)をクリックした後に、終点となる安値(高値)をクリック
④高値と安値を選択すると自動的に、フィボナッチ比率が表示される

・アプリ版取引システム「FXトレーダーアプリ版」での表示方法
①画面下のメニューからチャートを表示させる
②画面右側にあるボタンから横棒3本マークのボタンをタップする
③起点となる高値(安値)から終点となる安値(高値)までドラッグする
④高値と安値を選択すると自動的に、フィボナッチ比率が表示される

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■店頭外国為替証拠金取引「みんなのFX」「みんなのシストレ」、店頭外国為替オプション取引「みんなのオプション」及び店頭暗号資産証拠金取引「みんなのコイン」は元本や利益を保証するものではなく、相場の変動等により損失が生ずる場合がございます。お取引にあたっては契約締結前交付書面及び約款を十分にご理解頂き、ご自身の責任と判断にてお願いいたします。
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■みんなのコインにおける証拠金必要額は、各暗号資産の価格を基に、個人のお客様、法人のお客様ともにお取引額の50%(レバレッジ2倍)となります。 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ
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金融商品取引業者 関東財務局長(金商)第123号 加入協会:日本証券業協会 一般社団法人 金融先物取引業協会 一般社団法人 第二種金融商品取引業協会 一般社団法人 日本投資顧問業協会 一般社団法人 日本暗号資産取引業協会 日本投資者保護基金
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フィボナッチ数列

例えば「3, 6, 12, 24, 48. 」の数列で考えていきましょう。初項は3、公比は2です。
一般項、つまりn番目の項は「初項3に公比2をn-1回かけた数」なので
$a_ = 3 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ \times 2^$ となります。
$n=2$ の時、$3 \times 2^=3 \times 2 = 6$
$n=3$ の時、$3 \times 2^=3 \times 4 = 12$ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ
$n=4$ の時、$3 \times 2^=3 \times 8 = 24$
これを一般化すると、初項 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ $a$、公比 $r$ の等比数列における一般項は
$a_ = a \times r^$ となります。

フィボナッチ数の等比数列

等比数列の一般項は、$a_ = ar^$ ですから、次項は $a_ = ar^$、次の次項 $a_ = ar^$ です。

これを二次方程式に変形すると
$r^-r-1 = 0$

二次方程式の解の公式に当てはめる

ただ、これだけだと先頭の $1$ と $1$ が満たせないので、もう一工夫必要です。
解の公式により解が2つ求まったので、$α$ と $β$ にして、$α-β$ とすると $\sqrt$ がそれぞれに付きます。あとは、$\sqrt$ で割ればフィボナッチ数列が求まります。
詳しく下記を参照してください。

Fibonacci.png

普通に実装

※ np.sqrt を使わないでPythonの基本機能で実現する場合、5**0.5 で平方根の演算ができます。

100 番目の本当のフィボナッチ数は $354224848179261915075$ です。
残念ながら値が違ってしまいますね。
$354224848179263111168$
$354224848179261915075$

たかが 100 番目くらいで正しい答えを得られないようでは"なってない"といわざるを得ないではない。

計算方法を変える

計算方針を考える
落ち着こう。確かに無理数は避けて通れない。しかし、我々は無理数どころか、"もっとスゴい"数を扱ったことがあるはずだ。そう、二乗すると -1 になっちゃう愛に溢れた"アレ"を含む数、複素数である。
複素数をどう扱ったか思い出そう。次のように表現したはずだ。
$a+bi$
虚数単位 $i$ はもはや無理数ですらない。それでも我々は扱ってきた。ならばたかが $\sqrt$ 程度が扱えないわけがない。
というわけで、複素数の i を $\sqrt$ に置き換えた形で今回の式を取り扱うことにしよう。
フィボナッチ数列の一般項を計算する(※ただし有理数に限る)

Haskellでは標準で Rational という有理数を扱う型があるが、Pythonでは標準 fractions を使うと分数(有理数)での計算ができる。

FibNum こと Rational の二要素からなるタプルは、左に $\sqrt$ が付かない項を、右に フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ $\sqrt$ が付く項を格納することしよう。つまり (1, 1) と書けば $1+\sqrt$ のこと。(0, 1) と書けば フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ $\sqrt$ のこと。(1 % 2, 1 % 3) と書けば $\frac+\frac\sqrt$ のことを表す。(中略)
除算は 0 で割れないとか面倒なこともあるので、乗算の形にしておきたい。
まず、(1, 1) `fibDiv` (2, 0) は要するに $\frac<1+\sqrt>$ のことだが、こんなものは $\frac+\frac\sqrt$、つまり (1 % 2, 1 % 2) としてしまえば良い。
後ろ側の $\sqrt$ で割る処理は、逆数であるところの $\frac<\sqrt>$ 、つまり $\frac<\sqrt>$ を掛ければ良い。$\frac<\sqrt>$ ってことは $0+\frac\sqrt$ だから、ここでの表現では (0, 1 % 5) ってことだ。

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