初心者におすすめ

フィボナッチ数の魅力

フィボナッチ数の魅力
<参考図書>
ジョセフ・ダグニーズ著、ジョン・オブライエン画
「フィボナッチー自然の中にかくれた数を見つけた人」
2010 さえら書房

アーサー・ベンジャミン 「フィボナッチ数の魅力」

数学は論理的かつ機能的そして・・・スゴいのです。数学マジシャンのアーサー・ベンジャミンが探るのは、不思議で奇妙な数の集合「フィボナッチ数列」の隠れた性質です。(それに数学は想像力を刺激することだってできるのです!)

Using daring displays of algorithmic trickery, lightning calculator and number wizard Arthur Benjamin mesmerizes audiences with mathematical mystery and beauty.

1 フィボナッチ数の魅力 数学を学ぶ理由は計算、応用、発想するため

なぜ数学を学ぶのでしょうか? 本質的には3つの理由があります。計算するため 応用するため そして 発想するためです。発想に時間をかけないのは 残念なことですが・・・

2 数学とはパターンの科学

数学とはパターンの科学です。ここから論理的 批判的 創造的な 考え方を学べるのです。一方 学校で習う数学は 効果的に意欲を高めているとは言えません。数学を勉強する理由を生徒がたずねても 授業で いつか使うからとか テストに出るからと言われることも多いのです。でも 時々でいいから 面白くて美しくてワクワクするから 数学を学ぶという機会がもてたら 素敵だと思いませんか。でも そんな機会の作り方が わからないという声も聞きます。そこで私のお気に入りの数から ちょっとした例を挙げましょう フィボナッチ数です(拍手)ここにもフィボナッチ・ファンがいますね。素晴らしい。

3 フィボナッチ数は自然界にあふれている

この数列はいろいろな角度から 楽しむことができます。計算の面では わかりやすい数列です 1足す 1は 2で 1足す 2で 3 ― 2足す 3で 53足す 5で 8と 続きます 「フィボナッチ」の本名は ピサのレオナルドです。彼の著書『算盤の書』でこの数列が紹介されました。現在使われる計算方法は この本を通して西洋世界に伝わりました。応用の点から言うと フィボナッチ数は 自然界にあふれています。花びらの数は普通 ― フィボナッチ数です。ひまわりの花やパイナップルに見られる らせんの数も フィボナッチ数が多いです。

4 最も想像力をかき立てられるのはこの数列の美しい規則性

この数は さらにいろいろなものに見出せます。ただ最も想像力をかき立てられるのは この数列の美しい規則性です。お気に入りを一つ紹介します。平方数は 皆さん お好きですよね(笑)。フィボナッチ数の最初のいくつかを それぞれ 2乗してみましょう。1の 2乗は 1 フィボナッチ数の魅力 ― 2の 2乗は 4、3の 2乗は 9 ― 5の 2乗は 25と続きます。さて 連続するフィボナッチ数を 加えると次の数を得ることが できますよね。そういう作り方ですから。でも 2乗した数 同士を 加えても何も起こらないと思うでしょう。でも ご覧ください 1 + 1 = 2 ― 1 + 4 = 5 フィボナッチ数の魅力 ― 4 + 9 = 13 ― 9 + 25 = 34 になり このパターンが続くのです。

5 フィボナッチ数を2乗したものを最初から足していくと…

実は もう一つあります。フィボナッチ数を2乗したものを 最初から足していってみましょう。どうなるでしょうか 1 + 1 + 4 = 6 です。これに 9を加えると 15になります。25を加えると 40に フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 64を加えると 104になります。出てきた数を調べましょう。フィボナッチ数にはなっていませんが よく見ると フィボナッチ数が 隠れていますよ。わかりますか?ご覧に入れましょう 6 = 2 x 3、15 = 3 x 5 ― 40 = 5 x 8 です 2 3 5 8 ・・・わかりますか?(笑)フィボナッチ数ですよね。

6 なぜそうなるかを理解すればさらに楽しくなる

さて こんな規則性を見つけるのは面白いですが なぜそうなるかを理解すれば さらに楽しくなります。一番下の方程式を見てください。なぜ 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 x 13 になるのでしょうか。簡単な図で示します。1 x 1 の正方形から始めて 隣に 1 x 1 の正方形を置きます。合わせると 1 x 2 の長方形ができます。その下に 2 x 2 の正方形 ― 隣に 3 x 3 の正方形を置き また下に 5 x 5 の正方形 ― 隣に 8 x 8 の正方形を置くと 大きな長方形が出来ます。

7 面積を2種類の方法で計算できる

さて 簡単な質問をしましょう。長方形の面積は? 一つのやり方は 面積は正方形の面積の 合計ですね。そう作ったのですから。1の2乗プラス 1の2乗プラス 2の2乗プラス 3の2乗プラス ― 5の2乗プラス 8の2乗ですよね。これが面積です。一方 これは長方形ですから 面積は たて x よこ です。たては 8ですね。よこは 5 + 8 なので 次のフィナボッチ数である13です。だから面積は 8 x 13 です。面積を2種類の方法で 計算できました。結果はお互いに同じなので 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 x 13 になると言えるのです。

8 フィボナッチ数の魅力 大きい方の数を小さい方の数で割ると「黄金比」に近づく

さて このプロセスを続けると 13 x 21や 21 x 34といった長方形を 作り続けることができます。では今度は 13を 8で割ってみると 1.625になります。大きい方の数を小さい方の数で割ると その結果は次第に およそ 1.618に近づいていきます。この数こそ「黄金比」と呼ばれる比率です。多くの数学者 科学者 芸術家達を 何世紀もの間魅了してきた数です。

9 考え方を学ぶ時に数学を応用することが重要

今回 この題材を取り上げた理由は 数学の大半がそうであるように 美しい部分があるからです。ただ学校で このような美は あまり注目されません。計算の仕方は長い期間をかけて学びますが 実際に応用することを忘れてはいけません。とりわけ重要なのは考え方を学ぶ時に 数学を応用することです。

10 数学とは xの解を求めるだけでなく、理由 “why” を解明する学問

一言でまとめるとすれば こうなるでしょう 「数学とは xの解を求めるだけでなく 理由 “why” を解明する学問である」どうもありがとうございました(拍手)

フィボナッチ数は自然界にあふれている。ひまわりの花やパイナップルに見られるらせんの数もフィボナッチ数が多い。黄金比の背景にはフィボナッチ数列がある。数学は「なぜ」を解明する学問

TED日本語 - アーサー・ベンジャミン: フィボナッチ数の魅力

Mathematics is the science of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematicsthat we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they フィボナッチ数の魅力 often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test. But wouldn't it be great if every once in a while フィボナッチ数の魅力 we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)

Yeah! I already have Fibonacci fans here. That's great.

Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three,two plus three is five,three plus five is eight, and so on. Indeed, the person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today. In フィボナッチ数の魅力 terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to be a Fibonacci number as well.

In fact, there are many moreapplications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational フィボナッチ数の魅力 about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who doesn't? (Laughter)

Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one,two squared is four,three squared is nine,five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 four gives us five. And four plus nine is 13,nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.

In fact, here's another one. Suppose you フィボナッチ数の魅力 wanted to look at adding the squares ofthe first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.

Do you see it? I'll show it to you. Six is two times フィボナッチ数の魅力 three,15 is three times five,40 is five times eight,two,three,five,eight, who do we appreciate?

Fibonacci! Of course.

Now, as much fun as it is to discover these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one,フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 one,two,three,five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and フィボナッチ数の魅力 next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?

Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a フィボナッチ数の魅力 rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci フィボナッチ数の魅力 number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why the squares of one,one,two,three,five and eight add up to eight times 13.

Now, if we continue this process, we'll フィボナッチ数の魅力 generate rectangles of the form 13 by 21,21 by 34, and so on.

Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger numberby the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, フィボナッチ数の魅力 a number which has fascinated mathematicians, scientists and artists for centuries.

Now, I show all this to you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots of time learning about calculation, but let's not forget about application, フィボナッチ数の魅力 including, perhaps, the mostimportant application of all, learning how to think.

If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 for x, it's also figuring out why.

TED解説【The magic of Fibonacci numbers 】(その1)

So why do we learn mathematics? Essentially, for three reasons: calculation, application, and last, and unfortunately least in terms of the time we give it, inspiration.
なぜ数学を学ぶのでしょうか? 本質的には3つの理由があります。 計算するため 応用するため そして 発想に時間をかけないのは 残念なことですが・・・ 発想するためです。
※application:①応用 ②申し込み、志願
in terms of:~に関して

Mathematics is the science フィボナッチ数の魅力 of patterns, and we study it to learn how to think logically, critically and creatively, but too much of the mathematics that we learn in school is not effectively motivated, and when our students ask, "Why are we learning this?" then they often hear that they'll need it in an upcoming math class or on a future test.
数学とはパターンの科学です。 ここから論理的 批判的 創造的な 考え方を学べるのです。 一方 学校で習う数学は 効果的に意欲を 高めているとは言えません。 数学を勉強する理由を 生徒がたずねても 授業で いつか使うからとか テストに出るからと 言われることも多いのです。
※upcoming:近づいている、起ころうとしている

But wouldn't it be great if every once in a フィボナッチ数の魅力 while we did mathematics simply because it was fun or beautiful or because it excited the mind? Now, I know many people have not had the opportunity to see フィボナッチ数の魅力 how this can happen, so let me give you a quick example with my favorite collection of numbers, the Fibonacci numbers. (Applause)

でも 時々でいいから 面白くて美しくて ワクワクするから 数学を学ぶという 機会がもてたら フィボナッチ数の魅力 素敵だと思いませんか? でも そんな機会の作り方が わからないという 声も聞きます。 そこで私のお気に入りの数から ちょっとした例を挙げましょう フィボナッチ数です。 (拍手)

Now these numbers can be appreciated in many different ways. From the standpoint of calculation, they're as easy to understand as one plus one, which is two. Then one plus two is three, two plus three is five, three plus five is eight, and so on. Indeed, the フィボナッチ数の魅力 person we call Fibonacci was actually named Leonardo of Pisa, and these numbers appear in his book "Liber Abaci," which taught the Western world the methods of arithmetic that we use today.
この数列はいろいろな角度から 楽しむことができます。 計算の面では わかりやすい数列です。 1足す1は2で 1足す2で3 2足す3で5 3足す5で8と 続きます。 「フィボナッチ」の本名は ピサのレオナルドです。 彼の著書『算盤の書』で この数列が紹介されました。 現在使われる計算方法は この本を通して 西洋世界に伝わりました。
※arithmetic:①算数 ②計算

In terms of applications, Fibonacci numbers appear in nature surprisingly often. The number of petals on a flower is typically a Fibonacci number, or the number of spirals on a sunflower or a pineapple tends to フィボナッチ数の魅力 be a Fibonacci number as well.
応用の点から言うと フィボナッチ数は 自然界にあふれています。 花びらの数は普通 フィボナッチ数です。 ひまわりの花や パイナップルに見られる らせんの数も フィボナッチ数が多いです。
※petal:花弁、花びら

In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers, but what I find most inspirational about them are the beautiful number patterns they display. Let me show you one of my favorites. Suppose you like to square numbers, and frankly, who フィボナッチ数の魅力 doesn't? (Laughter)
この数は さらに いろいろなものに見出せます。 ただ最も想像力を かき立てられるのは この数列の美しい規則性です。 お気に入りを一つ紹介します。 平方数は 皆さん お好きですよね? (笑)

Let's look at the squares of the first few Fibonacci numbers. So one squared is one, two squared is four, three squared is nine, five squared is 25, and so on. Now, it's no surprise that when you add consecutive Fibonacci フィボナッチ数の魅力 numbers, you get the next Fibonacci number. Right? That's how they're created. But you wouldn't expect anything special to happen when you add the squares フィボナッチ数の魅力 together. But check this out. One plus one gives us two, and one plus four gives us five. And four plus nine is 13, nine plus 25 is 34, and yes, the pattern continues.
フィボナッチ数の最初のいくつかを それぞれ 2乗してみましょう。 1の2乗は1 2の2乗は4 3の2乗は9 5の2乗は25と続きます。 さて 連続するフィボナッチ数を 加えると次の数を得ることが できますよね。 そういう作り方ですから。 でも 2乗した数 同士を 加えても何も 起こらないと思うでしょう。 でも ご覧ください 1+1=2 1+4 =5 4+9=13 9+25=34 になり このパターンが続くのです。
※consecutive:連続的な、論理的に一貫した

In fact, here's another one. Suppose you wanted to look at adding the squares of the first few Fibonacci numbers. Let's see what we get there. So one plus one plus four is six. Add nine to that, we get 15. Add 25, we get 40. Add 64, we get 104. Now look at those numbers. Those are not Fibonacci numbers, but if you look at them closely, you'll see the Fibonacci numbers buried inside of them.
実は もう一つあります。 フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数を2乗したものを 最初から足していってみましょう。 どうなるでしょうか。 1+1+4=6 です。 これに 9を加えると15になります。 25を加えると40に 64を加えると104になります。 出てきた数を調べましょう。 フィボナッチ数には なっていませんが よく見ると フィボナッチ数が 隠れていますよ。

Do you see it? I'll show it to you. Six is two フィボナッチ数の魅力 times three, 15 is three times five, 40 is five times eight, two, three, five, eight, who do we appreciate?

Now, as much fun as it is to discover フィボナッチ数の魅力 these patterns, it's even more satisfying to understand why they are true. Let's look at that last equation. Why should the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13? I'll show you by drawing a simple picture. We'll start with a one-by-one square and next to that put another one-by-one square. Together, they form a one-by-two rectangle. Beneath that, I'll put a two-by-two square, and next to that, a three-by-three square, beneath that, a five-by-five square, and then an eight-by-eight square, creating one giant rectangle, right?
さて こんな規則性を 見つけるのは面白いですが なぜそうなるかを理解すれば さらに楽しくなります。 一番下の方程式を見てください。 なぜ 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 フィボナッチ数の魅力 x 13 になるのでしょうか? 簡単な図で示します。 1 x 1 の正方形から始めて 隣に 1 x 1 の正方形を置きます。 合わせると 1 x 2 の 長方形ができます。 その下に 2 x 2 の正方形 隣に 3 x 3 の正方形を置き また下に 5 x 5 の正方形 隣に 8 x 8 の正方形を置くと 大きな長方形が出来ます。
※rectangle:長方形

Now let me ask you a simple question: what is the area of the rectangle? Well, on フィボナッチ数の魅力 the one hand, it's the sum of the areas of the squares inside it, right? Just as we created it. It's one squared plus one squared フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 plus two squared plus three squared plus five squared plus eight squared. Right? That's the area. On the other hand, because it's a rectangle, the area is equal to its height times its base, and the height is clearly eight, and the base is five plus eight, which is the next Fibonacci number, 13. Right? So the area is also eight times 13. Since we've correctly calculated the area two different ways, they have to be the same number, and that's why フィボナッチ数の魅力 the squares of one, one, two, three, five and eight add up to eight times 13.
さて 簡単な質問をしましょう 長方形の面積は? 一つのやり方は 面積は正方形の面積の 合計ですね。 そう作ったのですから。 1の2乗プラス 1の2乗プラス 2の2乗プラス 3の2乗プラス 5の2乗プラス フィボナッチ数の魅力 8の2乗ですよね。 これが面積です。 一方 これは長方形ですから 面積は たて x よこ です。 たては 8ですね。 よこは 5 + 8 なので 次のフィナボッチ数である 13です。 だから面積は 8 x 13 です。 面積を2種類の方法で 計算できました。 結果はお互いに同じなので 1 1 2 3 5 8 の平方数を足すと 8 x 13 になると言えるのです。

Now, if we continue this process, we'll generate rectangles of the form 13 by 21, 21 by 34, and フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 so on.

さて このプロセスを続けると 13x21や 21x34といった長方形を 作り続けることができます。

Now check this out. If you divide 13 by eight, you get 1.625. And if you divide the larger number by the smaller number, then these ratios get closer and closer to about 1.618, known to many people as the Golden Ratio, a number which has fascinated mathematicians, フィボナッチ数の魅力 scientists and artists for centuries.
では今度は 13を 8で割ってみると 1.625になります。 大きい方の数を 小さい方の数で割ると その結果は次第に およそ 1.618に近づいていきます。 この数こそ「黄金比」と 呼ばれる比率です。 多くの数学者 科学者 芸術家達を 何世紀もの間 魅了してきた数です。

Now, I show all this to フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 you because, like so much of mathematics, there's a beautiful side to it that I fear does not get enough attention in our schools. We spend lots フィボナッチ数の魅力 of time learning about calculation, but let's not forget about application, including, perhaps, the most important application of all, learning how to think.

今回 この題材を取り上げた理由は 数学の大半がそうであるように 美しい部分があるからです。 ただ学校で このような美は あまり注目されません。 計算の仕方は 長い期間をかけて学びますが 実際に応用することを 忘れてはいけません。 とりわけ重要なのは 考え方を学ぶ時に 数学を応用することです。

If I could summarize this in one sentence, it would be this: Mathematics is not just solving for x, it's also figuring out why.

一言でまとめるとすれば こうなるでしょう 「数学とは xの解を 求めるだけでなく 理由 “why” を 解明する学問である」
※figure out:①解決する ②計算して合計を出す

厳選!フィボナッチ・フルコース~フィボナッチ数のマニアックな世界へ~

ただし、\(F_1=F_2=1\)とします。これは漸化式といって、前の番号の数の情報によって新たな数が構成されていく仕組みになっています。こうして得られる数列をフィボナッチ数列、そしてフィボナッチ数列に現れる数をフィボナッチ数と呼びます。
フィボナッチ数は前2つの数を足すことによって構成していきます。例えば、1番目と2番目は\(1\)であることから3番目は\(1+1=2\)。4番目は\(1+2=3\)、5番目は\(2+3=5\)フィボナッチ数の魅力 となります。最初のいくつかのフィボナッチ数を求めてみましょう。

2.フィボナッチ・フルコース

①.フィボナッチ数の整除性(オードブル)

\(p\) を\(5\)で割って\(1\)または\(4\)余る素数とする(たとえば\(11\), \(19\)など)。このとき\(p-1\)離れたフィボナッチ数たちの差は必ず\(p\)の倍数になる。つまり、以下が成り立つ。

これは中々エキゾチック。ちょっと確かめてみましょう!
\(p=11\) とします。適当に8番目のフィボナッチ数\(F_8=21\)をとってきましょう。定理によると\(p-1=10\)個進んだ18番目のフィボナッチ数\(F_\)を見てみます。すると\(F_=2584\)。結構大きい数になりますね。果たして差は\(11\)の倍数になるのでしょうか?さっそく計算してみましょう。

$$F_-F_9=4181-34=4147=11 \times 377$$

②.Lameの定理(スープ)

なんと、Euclidの互除法の回数は\(5n\)回で評価できるのです。しかも、隣り合うフィボナッチ数のペアの場合、最も作業回数が多い(めんどくさい)とのこと!
例えば、\(144\)と\(89\)のペアを考えて互除法を行いましょう。このとき小さい方の\(89\)の桁は\(2\)桁なので、定理によると\(5\times 2=10\)回も互除法を行わなければならないようです。実際に

フィボナッチ数列板
~ “Fibonacci numbers board” ~

<ウサギのつがい(組)の増え方>
(1)1組のウサギは産まれて1ヶ月で大人になり、2ヶ月後から1組のウサギを産む。
(2)ウサギは死なない。
スタートは赤ちゃんウサギ1組です。1ヶ月後は大人ウサギ1組になり、2ヶ月後は大人ウサギ1組と赤ちゃんウサギ1組で計2組、3ヶ月後は大人ウサギ2組と赤ちゃんウサギ1組で計3組、4ヶ月後は大人ウサギ3組と赤ちゃんウサギ2組で計5組…というふうに増えていきます。
また、フィボナッチ数は自然の中に実際に存在していることで有名です。ひまわりや松ぼっくり、パイナップルの螺旋の数、多くの花びらの枚数がフィボナッチ数になっています。

さらに、フィボナッチ数にはおもしろい性質があります。1つの数をその手前の数で割ると、 だんだん「黄金比=1.618 フィボナッチ数の魅力 ・・・ 」と表される数に近づいていくのです。最初は1/1=1からスタートしますが、3/2=1.5、 5/3=1.666 ・・・ 、 8/5=1.6、 13/8=1.625と進み、あっという間に1.618 ・・・ に近くなっていきます。
フィボナッチ数の魅力をいくつか紹介しました。興味を持ってくださった方はぜひ調べてみてください。
(数学科 園田毅)

下のグラフは、1つのフィボナッチ数をその手前の数で割ると、だんだん「黄金比=1.618 ・・・ 」と表される数に近づいていく様子をGeoGebraで描いたものです。y座標がだんだん1.618 ・・・ に近づいていきます。

<参考図書>
ジョセフ・ダグニーズ著、ジョン・オブライエン画
「フィボナッチー自然の中にかくれた数を見つけた人」
2010 さえら書房

三浦伸夫著
「フィボナッチ アラビア数学から西洋中世数学へ」
2016 現代数学社

“Fibonacci numbers board”
We put the board with “Fibonacci numbers” written on it on the bookshelf on the third floor in our math area.
Fibonacci numbers (sequence) are below.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ・・・
The previous 2 numbers make the present number. For example,
1+1 = 2、5+8 = 13、21+34 = 55 etc.
Fibonacci introduced these numbers as the problem with rabbits in his book ‘Liber Abaci’ (1202). The contents are as follows.

Way of increasing フィボナッチ数の魅力 rabbit pairs
(1) A pair of rabbit become an adult 1 month after their birth and have a pair of babies.
(2) Rabbits never die.
First, フィボナッチ数の魅力 there is 1 pair of baby rabbits. They become 1 adult pair 1 month after birth, become 2 pairs including 1 adult pair and 1 baby pair 2 months after, become 3 pairs including 2 adult pairs and 1 baby pair 3 months after, and become 5 pairs including 3 adult pairs and 2 baby pairs 4 months after.

Also, Fibonacci numbers are famous for its presence in nature. The numbers of spiral in a sunflower, a pine corn and a pineapple, and the numbers フィボナッチ数の魅力 of many kinds of flower petals are Fibonacci numbers.
Besides, there are interesting characteristics in Fibonacci numbers. The answer of the value what a Fibonacci number divided by the second number
gets close to the golden ratio. 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666 ・・・ ,
8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, it is getting close to 1.618・・・ in this way.
We introduced the fascination of Fibonacci numbers. Let’s research them if you take an interest in them.
by Tsuyoshi Sonoda (Math Dept.)

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